Влияние толщины и числа оборотов круглой пилы на частоты собственных колебаний

Требуемые технико-экономические показатели круглых пил в значительной степени определяются их работоспособностью. От работоспособности круглой пилы зависят энергозатраты, качество распиловки, потери древесины в опил. Потеря работоспособности пильного диска связана с потерей динамической устойчивости (изгибными колебаниями) при минимальной критической частоте вращения. Таким образом, каждая круглая пила с заданными параметрами имеет предельно допустимую частоту вращения. Превышение предельно допустимой частоты вращения вызывает значительное отклонение пилы от плоского состояния, что приводит к ухудшению качества распиловки и может вывести диск из строя. Предельно допустимая частота вращения устанавливается частотой собственных колебаний пильного диска.
В работе определяется частота собственных поперечных колебаний пильного диска постоянной толщины, закрепленного по внутреннему контуру планшайбой. Предполагаем, что распределение напряжений в пиле от нагрева и центробежных сил инерции имеет осесимметричный характер. Рассматривая малые поперечные колебания пильного диска, пренебрегаем изменением напряжений в срединной плоскости пилы при колебаниях диска.
Дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний пильного диска в цилиндрической системе координат[1]:

где r, θ — цилиндрические координаты;

— оператор Лапласа в цилиндрических координатах [2];

— удельная потенциальная энергия объемных сил;

σ_r и σ_θ — нормальные компоненты напряжения по осям r и θ;
τ_rθ — касательная компонента напряжения (τ_rθ = 0, т.к. напряженное состояние осесимметрично);
ρ — плотность материала диска пилы;
n — число оборотов диска пилы;
t — время;
w — прогиб пластинки;

— цилиндрическая жесткость [2];

Е — модуль упругости Юнга;
h — толщина диска;
ν — коэффициент Пуассона.

При определении частот собственных колебаний диска в качестве внешних нагрузочных факторов, действующих на диск, рассматриваем центробежные и тепловые нагрузки. Напряжения от действия центробежных сил определяем по следующим зависимостям [3]:

где а — радиус планшайбы;
b — радиус пильного диска.

Для определения термомеханических напряжений сперва необходимо определить тепловое поле пильного диска.
Распределение температуры по радиусу диска пилы описывается зависимостью [4]:

где I₀, K₀, I₁, K₁ — функции Бесселя соответственно первого и второго рода нулевого и первого порядка аргумента;
t_В — температура окружающей среды;
t_Н — температура на наружном радиусе (b) диска;
λ_m — коэффициент теплопроводности материала диска круглой пил.

Коэффициент теплоотдачи от диска воздуху α(r), определяется по формуле [4]:

где ω — угловая скорость;
с и ψ — коэффициенты, зависящие от вида, параметров охлаждающей среды и условий охлаждения;
λ_f — коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды;
ν_f — коэффициент кинематической вязкости воздуха при температуре окружающей среды.

Напряжения, возникающие от неравномерного нагрева диска пилы, в радиальном и тангенциальном направлениях σ_r(r) и σ_θ(r) определяются по формулам [3]:

где α_л — коэффициент линейного расширения материала круглой пилы.

Наиболее эффективным методом решения дифференциального уравнения (1) является приближенный метод Бубнова-Галеркина. Для приближенного решения задачи по данному методу задаемся выражением для прогиба в виде суммы конечного числа членов:

где α′, α″ — вариационные параметры;
λ — число узловых диаметров;
Ω — частота собственных колебаний диска пилы;
B₁, B₂, A₂, A₃ — безразмерные коэффициенты.

Функции (8) автоматически удовлетворяют граничным условиям на внутреннем контуре. На внутреннем радиусе диска, равном радиусу планшайбы (r = a), прогиб и угол поворота пластины равны нулю [4]:

Безразмерные коэффициенты определяются из условия, что функции (8) удовлетворяют граничным условиям на внешнем контуре [4]:

Подставляя функции (8) в дифференциальное уравнение (1), вариационное уравнение Бубнова-Галеркина примет вид:

В данном вариационном уравнении за начальный момент времени примем t₁ = 0, а за конечный момент времени — период рассматриваемого свободного колебания t₂ = 2π /σ, тогда вариационное уравнение перепишется в виде:

Вследствие независимости вариаций δa′ и δa″ множители при них должны обращаться в нуль. Это приводит к системе линейных уравнений относительно a′ и a″:

где

Приравнивая к нулю определитель системы (15):

находим частоту собственных колебаний пильного диска.

Рассмотрим пример расчета частоты собственных колебаний для пильного диска диаметром 2b = 1000 мм, диаметром планшайбы 2a = 160 мм. В расчете принимаем следующие параметры материала пилы (сталь 9ХФ): модуль упругости Юнга E = 2,1.105 МПа; коэффициент Пуассона μ = 0,27; плотность материала ρ = 7850 г/см3; коэффициент линейного расширения материала круглой пилы αл = 11,5.10–6 °C–1. Температура окружающей среды tВ = 20°С; температура на наружном радиусе (b) диска tН = 90°С. Коэффициенты, зависящие от вида и параметров охлаждающей среды и условий охлаждения с = 0,0287 и ψ = 0,8; коэффициент теплопроводности воздуха при температуре окружающей среды λf = 0,0259 Вт/(м2°С); коэффициент теплопроводности материала диска круглой пилы λm = 44,7 Вт/(м2°С); коэффициент кинематической вязкости воздуха при температуре окружающей среды νf = 15,06.10–6 м2/с. Расчет ведем для дисков толщиной от 2 мм до 5 мм с шагом 0,5 мм и числом оборотов от 750 об./мин. до 1550 об./мин. с шагом 50 об./мин. Результаты расчетов представлены в графическом виде на рисунках 1 и 2, отображающих зависимость частоты собственных колебаний рассматриваемого пильного диска от его числа оборотов и толщины для одного (λ = 1) и двух (λ = 2) узловых диаметров.

Рис. 1. Зависимость частоты собственных колебаний с одним узловым диаметром от толщины и частоты вращения пильного диска

Рис. 2. Зависимость частоты собственных колебаний с двумя узловым диаметрами от толщины и частоты вращения пильного диска

Расчет пильных дисков, рассмотренных в примерах, также был проведен с использованием метода конечных элементов в программном комплексе ANSYS, который показал расхождение результатов не более 5%.
Максимальное число оборотов пильного диска определяется по зависимости [5]:

Таким образом, на основании представленной модели найдены зависимости частоты собственных колебаний диска пилы от его толщины и числа оборотов, используя которые, возможно определить наиболее рациональные толщину и число оборотов пильного диска с точки зрения его устойчивости.

Список использованных источников

1. Жодзишский Г. А. Влияние напряжений от неравномерного нагрева, проковки и центробежных сил инерции на частоты свободных колебаний круглых пил: диссертация ... кандидата технических наук. — ЛТА, 1958.
2. С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер Пластинки и оболочки / пер. с англ.; под ред. Г. С. Шапиро. — Изд. 3-е, М.: Наука, 1966 — 635 с. ил, табл.; 22 см.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ./Под ред. Г.С. Шапиро. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979, 560 с.
4. Пашков В.К. Теплофизика резания древесины круглыми пилами: монография. Екатеринбург: Урал. гос. лесотехн. ун-т, 2007,311с. ISBN 978-5-94984-144-0.
5. Стахиев Ю.М. Работоспособность плоских круглых пил. — М.: Лесн. пром-сть, 1989. — 384 с. ISBN 5 — 7120 — 0197 — 7.

---

Власов А.В. (ВятГУ, г. Киров, РФ).
По материалам доклада на V Международном евразийском симпозиуме «Деревообработка: технологии, оборудование, менеджмент XXI века», г. Екатеринбург, РФ, сентябрь 2010 г.